RELASI Matematika Diskrit
RELASI
Jika di kehidupan nyata, ada yang namanya
suatu hubungan (relasi) antara individu dan individu didalam suatu kelompok.
Ataupun hubungan unsur lain terhadap unsur/ hal lain, misal, hubungan antar
tetangga, hubungan mahasiswa dengan mata kuliah ataupun hubungan dosen
dengan pelajaran yang diampunya, dan lain-lain.
Di materi
Relasi ini, saya akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara dua
unsur/himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan
tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi,
operasi dan sifatnya.
Definisi
Kita misalkan E & F sebagai himpunan,
hubungan antara himpunan E &
himpunan F merupakan himpunan
yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan, tetapi
mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan dari E × F / R ⊆(E × F).
Example:
Misal E
= {2, 4, 6} dan F =
{2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasi R
dari E ke F menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari
sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,
E
× F menjadi :
E × F =
{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6,
4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan
diatas, relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga terjadi hanya
pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E
Example:
Misal R
a/ relasi pada E = {2,
3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :
(x,
y) ∈ R
dan bila x habis dapat dibagi
oleh y.
Relasi R
pada E yang
menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.
R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2),
(8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}
Example about Relation/ contoh relasi :
E :NAMA, SUBYEK/ Domain
F :OBYEK/ Kodomain
R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit
Sifat-Sifat Relasi
Relasi atau hubungan pada himpunan punya
suatu sifat, sifat-sifat yang ada seperti..
1. Refleksif (reflexive)
Suatu
relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e, e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut
juga hubungan relasi R pada
himpunan E diketahui tidak
refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.
Example:
Misalkan
E = {1, 2, 3, 4},
dan sifat Relasi R adalah ‘≤’ yang
dimisalkan himpunan E, jadi
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4),
(4, 4)}
Kelihatan bukan jika (1, 1), (2, 2),
(3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R.
Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif
Example :
Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:
(e,
f) ∈ R jika
e faktor prima dari f
Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .
Jadi, jelas bahwa R tidak dan bukan bersifat refleksif.
Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian
suatu relasi, seperti:
• Relasi yang memiliki sifat refleksif
memiliki matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,
• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika
dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi di graf tersebut akan ditemukan
sebuah loop pada setiap
simpulnya.
2. Simetri (symmetric)
dan Anti Simetri (antisymmetric)
Suatu relasi R di himpunan E memiliki
sifat simetri jika
(e,
f) ∈ R,
jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.
Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan
tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara
itu (e, f) ∉ R.
Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai
anti simetri dan misalkan untuk setiap
a,
b ∈ A,
(a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.
Perhatikan bila istilah/
definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi
bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu relasi tak bisa
mempunyai kedua sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan
atau terurut dengan bentuk
(a,
b) yang mana a ≠ b.
example:
Misal R
adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :
e R f bila & hanya jika e – f ∈ Y.
Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simetri !
Misal e
R f jadi/ maka (e –
f) ∈ Y, Sementara (f – e) ∈ Z.
Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simetri.
Example :
Buktikan bila relasi ‘≤’ adalah
himpunan Z. Yang bersifat anti simetri
Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.
Hasilnya adalah ‘≤’ menjadi/ memiliki
sifat anti simetri.
3. Transitif (transitive)
Sebuah atau suatu relasi atau hubungan R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila
(a,
b) ∈ R dan
(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
example :
Misal E
= { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi dapat diartikan bila :
e R f jikalau& hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E
Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan E, jadi :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3),
(3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Dan Bila (2, 4) ∈ R &
(4, 8 ) ∈ R terbukti
bila (2, 8 ) ∈ R.
Dan relasi R memiliki sifat transitif.
Example :
R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan
Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:
R : E +
f = 5, e, f ∈ E,
Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Buktikan bila (1, 4) ∈ R &
(4, 1) ∈ R ,
terapi (1, 1) ∉ R.
Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat
transitif.
Sifat transitif memiliki beberapa ciri
didalam pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah
dinyatakan seperti:
Bila ada satu/ sebuah busur dari e ke f dan busur dari f
ke g, jadi
juga memiliki sebuah busur
Berarah/ diarahkan dari e ke g.
Dan saat/ bila menyajikan suatu relasi
transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu
ciri khusus di matriksnya.
